1. 초등 정수론에 대한 모든 지식을 찾아보세요```

초등 정수론은 수의 법칙, 특히 정수의 성질을 연구하는 수학의 한 분야입니다.

정수론의 가장 오래된 분야 중 하나입니다. 산술법을 주요 연구방법으로 하며 정수의 나눗셈, 부정방정식, 합동 등의 이론을 주요 내용으로 한다.

고대 그리스의 피타고라스는 초등 정수론의 선구자였습니다. 그와 그의 학교는 일부 특수 정수(예: 친화수, 완전수, 다각형 수)와 특수 부정 방정식 연구에 전념하고 있습니다.

기원전 4세기 유클리드의 『기하학 요소』는 102개의 명제를 통해 정수의 나눗셈 이론을 처음으로 정립했습니다. "소수는 무한히 많다"는 그의 증명은 수학적 증명의 모델로 간주됩니다.

서기 3세기에 디오판토스는 수많은 부정 방정식을 연구하고 이에 대한 독창적인 해법을 고안해 냈고, 이후 세대는 부정 방정식을 디오판토스 방정식이라고 불렀습니다. 17세기 이후 P. de Fermat, L. Euler, C. F. Gauss 등의 연구는 초등 정수론의 내용을 크게 풍부하게 하고 발전시켰습니다.

초등수 이론에 대한 고대 중국의 연구는 《주비수안경》, 《손자수안경》, 《장추견수안경》, 《장추견소경》, 민수기 9장'이 모두 기록되어 있습니다. 손자의 정리는 유럽의 정리보다 500년 앞선다. 서양에서는 이 정리를 중국의 나머지 정리라고 부르기도 한다.

초등 정수론은 순수 수학 연구의 기초일 뿐만 아니라 여러 분야에서 중요한 도구이기도 합니다. 응용 분야는 컴퓨터 과학, 조합 수학, 암호학, 정보 이론 등 다양합니다.

예를 들어, 공개 키 시스템의 제안은 암호학에서 정수론을 중요하게 적용한 것입니다. 초등정수론은 초등적이고 간단한 방법을 사용하여 수론을 연구하는 것이다.

그 밖에도 분석수론(분석적 방법을 이용한 정수론 연구)과 대수적 정수론(대수적 구조를 이용한 정수론 연구)이 있다.

소수 정수론 초기에는 정수의 성질을 연구하기 위해 간단한 추론 방법을 사용했는데, 소수가 가장 매력적이었습니다. 고대와 현대의 수학자들이 얼마나 많은 노력을 기울였는지 모르겠습니다! 소수의 성질을 연구하는 것은 정수론의 매우 중요한 측면입니다! 소수란 자신과 1 외에는 다른 인수를 가지지 않는 양의 정수를 말합니다.

소수는 양의 정수 원자와 같습니다. 가우스의 유명한 "고유 분해 정리"는 모든 정수를 말합니다. 일련의 소수를 곱한 결과로 쓸 수 있습니다.

하지만 아직까지 모든 소수를 표현할 수 있는 일반적이고 특수하게 사용되는 수식은 없습니다. 따라서 정수론에서 소수에 관한 두 가지 유명한 추측은 매우 어렵다. 1. 골드바흐 추측: (Goldbach Conjecture) 내용은 "2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수로 표현될 수 있다"이다. 독일의 수학자 골드바흐(C. Goldbach, 1690-1764)가 1742년 6월 7일 위대한 수학자 오일러에게 보낸 편지에서 이를 제안했다고 해서 골드바흐의 추측이라 불린다.

같은 해 6월 30일 오일러는 답장에서 이 추측이 사실일 수도 있지만 증명할 수는 없다고 썼습니다. 그 이후로 이 수학적 문제는 거의 모든 수학자들의 관심을 끌었습니다.

따라서 골드바흐의 추측은 수학의 왕관에 있는 찾기 힘든 '보석'이 되었습니다. "현대어로 표현하자면 골드바흐의 추측은 두 가지 내용으로 구성됩니다. 첫 번째 부분을 홀수 추측, 두 번째 부분을 짝수 추측이라고 합니다.

홀수 추측은 7보다 크거나 같은 홀수는 모두 세 소수의 합입니다. 짝수 추측은 4보다 크거나 같은 짝수는 두 소수의 합이어야 한다는 의미입니다."

('골드바흐의 추측과 판청동'에서 인용) 골드바흐의 추측은 간단해 보이지만 사실 증명하기는 쉽지 않은 문제로 수학계에서 유명한 문제가 되었습니다. 18세기와 19세기에 모든 정수론 전문가들은 이 추측을 증명하는 데 실질적인 진전을 이루지 못했습니다. 20세기가 되어서야 획기적인 발전이 이루어졌습니다.

골드바흐의 추측이 성립하지 않음을 직접적으로 증명하기 위해 사람들은 먼저 짝수를 두 수의 합으로 표현하고 각 수는 여러 소수의 곱으로 표현하는 '우회 전술'을 채택했습니다. . "모든 큰 짝수는 소인수 a 이하의 수와 소인수 b 이하의 다른 수의 합으로 표현될 수 있다"는 명제가 "a+b"로 기록되면 고딕 추측은 다음과 같이 증명됩니다. '1+1'이 성립되는 거죠.

20세기 최고의 수학자 힐베르트는 1900년 국제수학회의에서 '골드바흐의 추측'을 23가지 수학 문제 중 하나로 꼽았습니다. 이후 20세기 수학자들은 전 세계가 '힘을 합쳐' '골드바흐의 추측'의 요새를 공격했고 마침내 눈부신 성과를 거뒀다.

1920년대부터 사람들이 접근하기 시작했다. 1920년 노르웨이 수학자 부주에는 고대 선별 방법을 사용하여 6보다 큰 모든 짝수는 (9+9)로 표현될 수 있다는 결론에 도달했습니다.

이러한 포위 범위를 좁히는 방법은 매우 효과적이었습니다. 과학자들은 (9 + 9)부터 시작하여 각 숫자에 포함된 소인수의 수를 점차 줄여 마침내 각 숫자가 소수가 될 때까지 이를 증명했습니다. "골드바흐의 추측". 1920년 노르웨이의 Brun이 "9+9"를 증명했습니다.

1924년 독일의 Rademacher가 "7+7"을 증명했습니다. 1932년 영국의 Estermann이 "6+6"을 증명했습니다.

1937년 이탈리아의 라이시(Ricei)가 '5+7', '4+9', '3+15', '2+366'을 잇달아 증명했다. 1938년 소련의 Byxwrao가 "5+5"를 증명했습니다.

1940년 소련의 Byxwrao가 '4+4'를 증명했습니다. 1948년 헝가리의 레니(Renyi)는 "1+c"를 증명했는데, 여기서 c는 큰 자연수입니다.

1956년 중국의 왕위안(Wang Yuan)은 '3+4'를 증명했다. 1957년 중국의 왕위안(Wang Yuan)이 '3+3'과 '2+3'을 잇달아 증명했다.

1962년에는 중국의 판청둥(Pan Chengdong)과 소련의 BapoaH가 '1+5'를, 중국의 왕위안(Wang Yuan)이 '1+4'를 증명했다. 1965년에는 소련의 Byxwrao와 BHHopappB, 이탈리아의 Bombieri가 '1+3'을 입증했습니다.

1966년 중국의 Chen Jingrun은 "1 + 2"를 증명했습니다. [일반인의 용어로는 큰 짝수 = 소수 + 소수 * 소수 또는 큰 짝수 = 소수 + 소수( 참고: 큰 짝수를 구성하는 소수는 짝수 소수가 될 수 없으며, 홀수 소수만 가능합니다. 왜냐하면 소수 중 짝수인 소수는 1개뿐이기 때문입니다. 2)

]. "s + t" 문제는 s 소수의 곱과 t 소수의 곱의 합을 의미합니다. 20세기 수학자들이 골드바흐의 추측을 연구하기 위해 사용한 주요 방법은 체법, 원법, 밀도 방법과 삼각형 합.

2. 정수론에 대한 몇 가지 기본 지식

초등 정수론에 국한한다면 초등 정수론의 연구 대상은 상대적으로 좁으며, 일반적으로 정수 또는 자연수까지입니다. . 연속분수에 대한 더 진보된 연구는 이러한 한계를 극복할 것입니다.

원칙적으로 초등 정수 이론은 디오판토스 방정식과 같은 음의 정수를 연구합니다. 그리고 가장 기본적인 정수와 소수에 대해서만 이야기한다면 자연수를 공부하는 것만으로도 충분합니다.

기본 정수론의 가장 기본적인 도구는 가분성과 합동입니다. 가분성은 6을 2로 나눈다는 것을 의미하며, 이는 6을 2로 나눈 것이 분수라는 것을 의미합니다. 6은 2로 나누어지지 않는다는 뜻이다. 합동이란 두 숫자를 같은 숫자(모듈러스라고 함)로 나누어 나머지가 같은지 확인하는 것입니다. 예를 들어, 모듈로 7, 2, 9는 합동이고 3과 6은 합동이 아닙니다.

수반되는 개념에는 최대 공약수 등이 포함됩니다. 유클리드 알고리즘은 최대 공약수를 찾는 기본 방법입니다.

더 높은 방향의 개발에는 원시근, 2차 나머지, Pell 방정식, 정수론 함수, 소수 분포, 그래프 그리드 등이 포함될 수 있습니다. 간단히 말해서, 초등 정수론에 사용되는 도구는 초등 분석을 초과하지 않습니다.

3. 초등수론을 배우는 방법

정수론이라고도 불리는 초등수론은 주로 정수의 성질과 방정식의 정수해를 연구하는 매우 중요한 기초이론이다. 왜냐하면 초등 정수론의 문제는 간단하고 이해하기 쉽기 때문에 다른 어떤 수학 분야보다 더 많은 사람들의 관심을 끌고 있기 때문입니다. 정수의 속성에 대한 심층 연구를 개발했습니다. 이 과정은 3학점, 54학점입니다.

본 과목은 총 5개 장으로 구성되어 있으며, 정수의 나눗셈, 부정방정식, 일변수 합동이론, 제곱나머지 등을 중심으로 나눗셈 이론, 부정방정식, 합동이론, 연분수를 각각 소개한다. 4개의 모듈을 기다립니다. 본 과목의 주된 과제는 학생들이 정수와 그 성질에 대한 이해를 심화시키고, 초등수학의 기초수론 연구방법과 기법을 익히는 것이다.

본 강좌의 교과서에는 지식 포인트의 난이도에 따른 일련의 예제와 연습문제가 포함되어 있으며, 학생들이 온라인으로 공부할 수 있는 20시간의 IP 코스웨어도 편찬되어 있습니다. 질문. 정수의 나눗셈 모듈은 정수, 공약수, 소수의 개념과 성질을 숙지하고 유클리드 나눗셈 방법을 능숙하게 사용하여 두 정수의 최대 공약수와 최소 공배수를 구해야 합니다. 나머지 정리와 산술의 기본 정리에 대한 심층적인 이해 체 방법을 사용하여 소수의 간단한 표를 찾을 수 있습니다. 서랍 원리를 사용하여 정수의 배수에 대한 몇 가지 간단한 질문을 증명합니다. 특정 정수. 부정 방정식 모듈에서는 두 변수의 선형 부정 방정식이 정수 해를 갖는 조건과 두 변수의 부정 방정식이 정수 형태를 갖는 조건을 기억하고 나머지 정리(유클리드 나눗셈)를 사용하는 방법을 마스터해야 합니다. 방법) 두 변수의 선형 부정 방정식에 대한 정수 해를 구합니다. 다변량 선형 부정 방정식의 해를 구하는 조건을 알고, 단순 다변량(3항) 선형 부정 방정식에 대한 정수 해를 풀 수 있습니다. 부정 방정식, 형식의 정수 해를 찾을 수 있고 몇 가지 간단한 관련 문제를 증명할 수 있습니다. 일변수 합동 이론 모듈에서는 정수 곱 연산의 결과를 간단히 검증하기 위해 합동의 속성을 사용할 수 있는 능력이 필요합니다. 능숙한 판단력 잔차법, 오일러 함수의 정의와 특성 이해, 오일러 정리와 페르마의 소정리 이해, 순환소수 결정 방법 숙달, 선형 합동 해법 숙달 ; 중국어 나머지 정리의 간단한 적용, 단순 합동 방정식을 푸는 방법을 마스터합니다. 고차 합동의 해 수를 판단하는 방법을 이해하고, 고차 합동을 푸는 방법을 알고, 모듈로 정수 합동을 이해합니다. 모듈로 소수 합동 사이의 관계, 단순(3차 및 4차) 합동에 대한 해를 구하는 방법을 마스터하려면 제곱 나머지 모듈을 사용하려면 이차 합동의 일반적인 형태, 모듈로 정수 합동과 모듈로 소수 거듭제곱 간의 관계에 대한 이해가 필요합니다. 합동, 제곱 잔기와 제곱 비잔기의 개념, 오일러의 단일 소수의 제곱 잔기와 제곱 비잔기의 결정 방법을 이해하고, 단일 소수의 제곱 잔기와 제곱 비잔기의 수를 이해합니다. 르장드르 기호 및 야코비 기호의 속성 합동에 대한 해의 존재를 결정하기 위해 르장드르 및 야코비 기호를 사용하는 능력, 모듈로 비소수 수에 대한 해의 조건 및 해의 수에 대한 관련 결론을 숙지합니다. 소수 p에 대한 불확실성을 논의할 수 있습니다. 방정식이 정수 해를 갖는 조건을 익힐 수 있습니다. 원시 근을 사용하여 정수로 나머지 시스템을 단순화하는 방법을 얻을 수 있습니다. (합동 방정식이 해를 가지기 위한 조건과 해의 수에 대해 토론합니다.) 많은 수론에서 문제 연구에 있어서 우리나라는 화뤄갱(Hua Luogeng), 커자오(Ke Zhao), 민사허(Min Sihe)와 같은 유명한 수학자들이 선두에 있습니다. 특히, 분석수론 분야에서 화뤄갱(Hua Luogeng) 교수의 업적은 널리 인정받고 있으며, 1960년대에는 유명한 수학자 천징윤(Chen Jingrun), 왕위안(Wang Yuan), 판청동(Pan Chengdong) 등도 이러한 문제에서 국제적으로 선도적인 성과를 거두었습니다. 골드바흐의 추측처럼 이 강좌를 어떻게 잘 배울 수 있을까요? 우리의 유일한 조언은 그것을 하고 연습하라는 것입니다. 초등 정수론을 배우는 것은 새로운 실용적이고 실용적인 기술 과정을 배우는 것과 같습니다. 한 번에 한 레슨을 더 많이 연습하거나 특정 정리(또는 예제 문제)를 하나씩 연습해야 합니다. 하나, 연습하세요. 이해가 안 되는 부분이 있으면 책이나 예제를 반복해서 읽어보세요. 어쩌면 갑자기 이해하게 될 수도 있습니다. 이 과정을 잘 배우기 위해서는 높은 전문 지식이 필요하지 않습니다. 시간을 들여 진지하게 공부할 수 있는 한, 핵심 사항을 파악하기 위해 일부 공식을 암기하고 유연하게 적용해야 합니다.

강좌를 학습하려면 특정 기술, 분류 및 요약 학습, 핵심 사항 파악이 필요합니다. 이는 무의식적으로 이 강좌를 학습하고 토론하는 데 대한 관심과 열정을 불러일으킬 것입니다.

4. 초등수론의 초등수론 내용

초등수론은 다음과 같은 부분으로 구성됩니다.

1. 가분성 이론. 정수, 인수, 배수, 소수, 합성수 등의 기본 개념을 소개합니다. 이 이론의 주요 성과로는 고유 분해 정리, 페이슈의 정리, 유클리드의 유클리드 나눗셈 방법, 산술의 기본 정리, 소수의 무한수의 증명 등이 있습니다.

2. 합동 이론. 주로 Gauss의 "산술 연구" 콘텐츠에서 발췌. 합동, 원시근, 지수, 제곱나머지, 합동 방정식과 같은 개념이 정의됩니다. 주요 업적: 이차 상반 법칙, 오일러의 정리, 페르마의 소정리, 윌슨의 정리, 손자의 정리(중국 나머지 정리) 등

3. 연분수 이론. 연분수의 개념과 알고리즘 등을 소개합니다. 특히 정수의 제곱근에 대한 연속적인 분수 전개가 연구됩니다. 주요 성과: 순환 연속 분수의 확장, 최적 근사 문제, Pell 방정식의 해.

4. 부정 방정식. 피타고라스 방정식의 몫열정리, 펠 방정식의 연분수해 등 저차대수곡선에 해당하는 부정방정식을 주로 연구하였다. 또한 4차 페르마 방정식의 해법 등도 포함됩니다.

5. 정수론 함수. 오일러 함수, 뫼비우스 변환 등

6. 가우스 함수. 첫 번째 수준은 수학적 개념으로, 사물의 본질적인 속성을 반영하는 사고 형태입니다. 인지의 과정에서 인간은 지각적 인지에서 이성적 인지로 발전하고, 자신이 지각하는 사물의 가장 본질적인 특징을 추상화하고, 이를 요약하여 개념으로 만든다. 개념을 표현하는 언어적 형태는 단어나 구이다. 과학적 개념, 특히 수학적 개념은 더욱 엄격하며 특이성, 정확성, 테스트 가능성이라는 세 가지 조건을 충족해야 합니다. 예를 들어, "쌍둥이 소수"는 수학적 개념입니다.

두 번째 수준은 수학적 명제라고 합니다. 수학적 명제는 일련의 수학적 개념 사이의 관계를 판단하는 문장입니다. 명제는 참이거나 거짓입니다(이는 논리학의 배타중의 법칙에 의해 보장됩니다). 참 명제는 정리, 보조정리, 추론, 사실 등을 포함합니다. 명제는 실존적 명제("...가 있다"로 표현됨)이거나 보편적 명제("모든 것에 대해..."로 표현됨)일 수 있습니다. 세 번째 수준은 수학 이론이라고 하며, 방법, 공식, 공리, 정리 및 원리를 하나의 시스템으로 결합한 것을 수학 이론이라고 합니다. 예를 들어, "기본 정수론"은 공리(등가 공리 등), 정리(페르마의 작은 정리 등), 원리(서랍 원리, 일대일 대응 원리 등), 공식 등으로 구성됩니다. 수학적 증명에서 보편적 명제는 열거를 통해 참인지 거짓인지 판단할 수 없는 경우가 많습니다. 왜냐하면 수학은 때때로 무한한 대상에 직면하고 모든 상황을 하나씩 열거하는 것이 불가능하기 때문입니다. 불완전 귀납법은 수학에서는 실현 가능하지 않으며, 수학은 연역 논리(수학적 귀납법, 초한 귀납법 등은 모두 연역 논리에 속함)만 인식합니다.